第二周：优化算法 (Optimization algorithms)

2.1 Mini-batch 梯度下降（Mini-batch gradient descent）

神经网络训练过程是同时对所有m个样本（称为batch）通过向量化计算方式进行的。如果m很大，训练速度会很慢，因为每次迭代都要对所有样本进进行求和运算和矩阵运算。这种梯度下降算法称为Batch Gradient Descent

解决：

把m个训练样本分成若干个子集，称为mini-batches，然后每次在单一子集上进行神经网络训练，这种梯度下降算法叫做Mini-batch Gradient Descent

假设总的训练样本个数$m=5000000$，其维度为$(n_x,m)$。将其分成5000个子集，每个mini-batch含有1000个样本。将每个mini-batch记为$X^{\{t\}}$，其维度为$(n_x,1000)$。相应的每个mini-batch的输出记为$Y^{\{t\}}$，其维度为(1,1000)，且$t=1,2,\cdots,5000$

• $X^{(i)}$：第i个样本

• $Z^{[l]}$：神经网络第$l$层网络的线性输出

• $X^{\{t\}},Y^{\{t\}}$：第t组mini-batch

Mini-batches Gradient Descent是先将总的训练样本分成T个子集（mini-batches），然后对每个mini-batch进行神经网络训练，包括Forward Propagation，Compute Cost Function，Backward Propagation，循环至T个mini-batch都训练完毕

$$for\ \ t=1,\cdots,T\ \ \{$$

$$\ \ \ \ Forward\ Propagation$$

$$\ \ \ \ Compute\ Cost\ Function$$

$$\ \ \ \ Backward\ Propagation$$

$$\ \ \ \ W:=W-\alpha\cdot dW$$

$$\ \ \ \ b:=b-\alpha\cdot db$$

$$\}$$

经过T次循环之后，所有m个训练样本都进行了梯度下降计算。这个过程称之为经历了一个epoch。对于Batch Gradient Descent而言，一个epoch只进行一次梯度下降算法；而Mini-Batches Gradient Descent，一个epoch会进行T次梯度下降算法

对于Mini-Batches Gradient Descent，可以进行多次epoch训练。每次epoch，最好是将总体训练数据打乱、重新分成T组mini-batches，这样有利于训练出最佳的神经网络模型

2.2 理解 mini-batch 梯度下降法（Understanding mini-batch gradient descent）

Batch gradient descent和Mini-batch gradient descent的cost曲线：

对于一般的神经网络模型，使用Batch gradient descent，随着迭代次数增加，cost是不断减小的。而使用Mini-batch gradient descent，随着在不同的mini-batch上迭代训练，其cost不是单调下降，而是受类似noise的影响，出现振荡。但整体的趋势是下降的，最终也能得到较低的cost值

出现细微振荡的原因是不同的mini-batch之间是有差异的。可能第一个子集$(X^{\{1\}},Y^{\{1\}})$是好的子集，而第二个子集$(X^{\{2\}},Y^{\{2\}})$包含了一些噪声noise。出现细微振荡是正常的

如果mini-batch size=m，即为Batch gradient descent，只包含一个子集为$(X^{\{1\}},Y^{\{1\}})=(X,Y)$；

如果mini-batch size=1，即为Stachastic gradient descent，每个样本就是一个子集$(X^{\{1\}},Y^{\{1\}})=(x^{(i)},y^{(i)})$，共有m个子集

蓝色的线代表Batch gradient descent，紫色的线代表Stachastic gradient descent。Batch gradient descent会比较平稳地接近全局最小值，但因为使用了所有m个样本，每次前进的速度有些慢。Stachastic gradient descent每次前进速度很快，但路线曲折，有较大的振荡，最终会在最小值附近来回波动，难达到最小值。而且在数值处理上不能使用向量化的方法来提高运算速度

mini-batch size不能设置得太大（Batch gradient descent），也不能设置得太小（Stachastic gradient descent）。相当于结合了Batch gradient descent和Stachastic gradient descent各自的优点，既能使用向量化优化算法，又能较快速地找到最小值。mini-batch gradient descent的梯度下降曲线如下图绿色所示，每次前进速度较快，且振荡较小，基本能接近全局最小值。

• 总体样本数量m不太大时，例如$m\leq2000$，建议直接使用Batch gradient descent

• 总体样本数量m很大时，建议将样本分成许多mini-batches。推荐常用的mini-batch size为64,128,256,512。都是2的幂。原因是计算机存储数据一般是2的幂，这样设置可以提高运算速度

• mini-batch 中确保 $X{\{t\}}$ 和$Y{\{t\}}$要符合 CPU/GPU 内存，取决于应用方向以及训练集的大小。如果处理的 mini-batch 和 CPU/GPU 内存不相符，不管用什么方法处理数据，算法的表现都急转直下变得惨不忍睹

从训练集（X，Y）中构建小批量

• 随机洗牌（Shuffle）：创建训练集（X，Y）的混洗版本，X和Y的每一列代表一个训练示例。随机混洗是在X和Y之间同步完成的。这样在混洗之后第$i$列的X对应的例子就是Y第$i$列中的标签。混洗步骤可确保将示例随机分成不同的小批次

• 分区（Partition）：将混洗（X，Y）分区为小批量mini_batch_size（此处为64）。训练示例的数量并非总是可以被mini_batch_size整除。最后一个小批量可能会更小

2.3 指数加权平均数（Exponentially weighted averages）

半年内伦敦市的气温变化：

温度数据有noise，抖动较大

如果希望看到半年内气温的整体变化趋势，可以通过移动平均（moving average）的方法来对每天气温进行平滑处理

设$V_0=0$，当成第0天的气温值

第一天的气温与第0天的气温有关：

$$V_1=0.9V_0+0.1\theta_1$$

第二天的气温与第一天的气温有关：

$$\begin{aligned}V_2 =&0.9V_1+0.1\theta_2\\ =&0.9(0.9V_0+0.1\theta_1)+0.1\theta_2\\ =&0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2 \end{aligned}$$

第三天的气温与第二天的气温有关：

$$\begin{aligned}V_3 =&0.9V_2+0.1\theta_3\\ =&0.9(0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2)+0.1\theta_3\\ =&0.9^3V_0+0.9^2\cdot 0.1\theta_1+0.9\cdot 0.1\theta_2+0.1\theta_3 \end{aligned}$$

第$t$天与第$t-1$天的气温迭代关系为：

$$\begin{aligned}V_t =&0.9V_{t-1}+0.1\theta_t\\ =&0.9^tV_0+0.9^{t-1}\cdot0.1\theta_1+0.9^{t-2}\cdot 0.1\theta_2+\cdots+0.9\cdot0.1\theta_{t-1}+0.1\theta_t \end{aligned}$$

经过移动平均处理得到的气温如下图红色曲线所示：

这种滑动平均算法称为指数加权平均（exponentially weighted average）。一般形式为：

$$V_t=\beta V_{t-1}+(1-\beta)\theta_t$$

$\beta$值决定了指数加权平均的天数，近似表示为：

$$\frac{1}{1-\beta}$$

当$\beta=0.9$，则$\frac{1}{1-\beta}=10$，表示将前10天进行指数加权平均。当$\beta=0.98$，则$\frac{1}{1-\beta}=50$，表示将前50天进行指数加权平均。$\beta$值越大，则指数加权平均的天数越多，平均后的趋势线就越平缓，但是同时也会向右平移

绿色曲线和黄色曲线分别表示了$\beta=0.98$和$\beta=0.5$时，指数加权平均的结果

2.4 理解指数加权平均数（Understanding exponentially weighted averages ）

指数加权平均公式的一般形式：

$$\begin{aligned}V_t =&\beta V_{t-1}+(1-\beta)\theta_t\\ =&(1-\beta)\theta_t+(1-\beta)\cdot\beta\cdot\theta_{t-1}+(1-\beta)\cdot \beta^2\cdot\theta_{t-2}+\cdots +(1-\beta)\cdot \beta^{t-1}\cdot \theta_1+\beta^t\cdot V_0 \end{aligned}$$

$\theta,\theta{t-1},\theta_{t-2},\cdots,\theta_1$是原始数据值，$(1-\beta),(1-\beta)\beta,(1-\beta)\beta^2,\cdots,(1-\beta)\beta^{t-1}$是类似指数曲线，从右向左，呈指数下降的。$V_t$ 的值是这两个子式的点乘，将原始数据值与衰减指数点乘，相当于做了指数衰减，离得越近，影响越大，离得越远，影响越小，衰减越厉害

为了减少内存的使用，使用这样的语句来实现指数加权平均算法：

$$V_{\theta}=0$$

$$Repeat\ \{$$

$$\ \ \ \ Get\ next\ \theta_t$$

$$\ \ \ \ V_{\theta}:=\beta V_{\theta}+(1-\beta)\theta_t$$

$$\}$$

2.5 指 数 加 权 平 均 的 偏 差 修 正 （ Bias correction inexponentially weighted averages ）

当$\beta=0.98$时，指数加权平均结果如绿色曲线。但实际上真实曲线如紫色曲线

紫色曲线与绿色曲线的区别是，紫色曲线开始的时候相对较低一些。因为开始时设置$V_0=0$，所以初始值会相对小一些，直到后面受前面的影响渐渐变小，趋于正常

修正这种问题的方法是进行偏移校正（bias correction），即在每次计算完$V_t$后，对$V_t$进行下式处理：

$$\frac{V_t}{1-\beta^t}$$

刚开始的时候，$t$比较小，$(1-\beta^t)<1$,$V_t$被修正得更大一些，效果是把紫色曲线开始部分向上提升一些，与绿色曲线接近重合。随着$t$增大，$(1-\beta^t)\approx1$，$V_t$基本不变，紫色曲线与绿色曲线依然重合。实现了简单的偏移校正，得到希望的绿色曲线

机器学习中，偏移校正并不是必须的。因为，在迭代一次次数后（$t$较大），$V_t$受初始值影响微乎其微，紫色曲线与绿色曲线基本重合。一般可以忽略初始迭代过程，等到一定迭代之后再取值就不需要进行偏移校正

2.6 动量梯度下降法（Gradient descent with Momentum ）

动量梯度下降算法速度比传统的梯度下降算法快很多。做法是在每次训练时，对梯度进行指数加权平均处理，然后用得到的梯度值更新权重$W$和常数项$b$

原始的梯度下降算法如上图蓝色折线所示。在梯度下降过程中，梯度下降的振荡较大，尤其对于$W$、$b$之间数值范围差别较大的情况。此时每一点处的梯度只与当前方向有关，产生类似折线的效果，前进缓慢。而如果对梯度进行指数加权平均，使当前梯度不仅与当前方向有关，还与之前的方向有关，在纵轴方向， 平均过程中，正负数相互抵消，所以平均值接近于零。但在横轴方向，所 有的微分都指向横轴方向，因此横轴方向的平均值仍然较大，用算法几次迭代后，最终纵轴方向的摆动变小了，横轴方向运动更快，因此算法走了一 条更加直接的路径，在抵达最小值的路上减少了摆动，这样处理让梯度前进方向更加平滑，减少振荡，能够更快地到达最小值处

权重$W$和常数项$b$的指数加权平均表达式如下：

$$V_{dW}=\beta\cdot V_{dW}+(1-\beta)\cdot dW$$

$$V_{db}=\beta\cdot V_{db}+(1-\beta)\cdot db$$

动量的角度来看，以权重$W$为例，$V_{dW}$可以理解成速度$V$，$dW$可以看成是加速度$a$。指数加权平均实际上是计算当前的速度，当前速度由之前的速度和现在的加速度共同影响。而$\beta<1$又能限制速度$V_{dW}$过大。即当前的速度是渐变的，而不是瞬变的，是动量的过程。保证了梯度下降的平稳性和准确性，减少振荡，较快地达到最小值处

动量梯度下降算法的过程如下：

$On\ iteration\ t:$

$$\ \ \ \ Compute\ dW,\ db\ on\ the\ current\ mini-batch$$

$$\ \ \ \ V_{dW}=\beta V_{dW}+(1-\beta)dW$$

$$\ \ \ \ V_{db}=\beta V_{db}+(1-\beta)db$$

$$\ \ \ \ W=W-\alpha V_{dW},\ b=b-\alpha V_{db}$$

初始时，令$V_{dW}=0,V_{db}=0$。一般设置$\beta=0.9$，即指数加权平均前10次的数据，实际应用效果较好。

偏移校正可以不使用。因为经过10次迭代后，随着滑动平均的过程，偏移情况会逐渐消失

2.7 RMSprop(root mean square prop)

RMSprop是另外一种优化梯度下降速度的算法。每次迭代训练过程中，其权重$W$和常数项$b$的更新表达式为：

$$S_{dW}=\beta S_{dW}+(1-\beta)dW^2$$

$$S_{db}=\beta S_{db}+(1-\beta)db^2$$

$$W:=W-\alpha \frac{dW}{\sqrt{S_{dW}}},\ b:=b-\alpha \frac{db}{\sqrt{S_{db}}}$$

RMSprop算法的原理解释

令水平方向为$W$的方向，垂直方向为$b$的方向

梯度下降（蓝色折线）在垂直方向（$b$）上振荡较大，在水平方向（$W$）上振荡较小，表示在$b$方向上梯度较大，即$db$较大，而在$W$方向上梯度较小，即$dW$较小。因此，上述表达式中$S_{db}$较大，而$S_{dW}$较小。在更新$W$和$b$的表达式中，变化值$\frac{dW}{\sqrt{S_{dW}}}$较大，而$\frac{db}{\sqrt{S_{db}}}$较小。也就使得$W$变化得多一些，$b$变化得少一些。即加快了$W$方向的速度，减小了$b$方向的速度，减小振荡，实现快速梯度下降算法，其梯度下降过程如绿色折线所示。总的来说，就是如果哪个方向振荡大，就减小该方向的更新速度，从而减小振荡

为了避免RMSprop算法中分母为零，通常可以在分母增加一个极小的常数$\varepsilon$：

$$W:=W-\alpha \frac{dW}{\sqrt{S_{dW}}+\varepsilon},\ b:=b-\alpha \frac{db}{\sqrt{S_{db}}+\varepsilon}$$

$\varepsilon=10^{-8}$，或者其它较小值

2.8 Adam 优化算法(Adam optimization algorithm)

Adam（Adaptive Moment Estimation）算法结合了动量梯度下降算法和RMSprop算法。其算法流程为：

$V{dW}=0, S{dW}, V{db}=0, S{db}=0$

$On iteration t:$

$$\ \ \ \ Cimpute\ dW,\ db$$

$$\ \ \ \ V_{dW}=\beta_1V_{dW}+(1-\beta_1)dW,\ V_{db}=\beta_1V_{db}+(1-\beta_1)db$$

$$\ \ \ \ S_{dW}=\beta_2S_{dW}+(1-\beta_2)dW^2,\ S_{db}=\beta_2S_{db}+(1-\beta_2)db^2$$

$$\ \ \ \ V_{dW}^{corrected}=\frac{V_{dW}}{1-\beta_1^t},\ V_{db}^{corrected}=\frac{V_{db}}{1-\beta_1^t}$$

$$\ \ \ \ S_{dW}^{corrected}=\frac{S_{dW}}{1-\beta_2^t},\ S_{db}^{corrected}=\frac{S_{db}}{1-\beta_2^t}$$

$$\ \ \ \ W:=W-\alpha\frac{V_{dW}^{corrected}}{\sqrt{S_{dW}^{corrected}}+\varepsilon},\ b:=b-\alpha\frac{V_{db}^{corrected}}{\sqrt{S_{db}^{corrected}}+\varepsilon}$$

Adam算法包含了几个超参数，分别是：$\alpha,\beta_1,\beta_2,\varepsilon$,$\beta_1$通常设置为0.9，$\beta_2$通常设置为0.999，$\varepsilon$通常设置为$10^{-8}$。一般只需要对$\beta_1$和$\beta_2$进行调试

Adam算法结合了动量梯度下降和RMSprop各自的优点，使得神经网络训练速度大大提高

2.9 学习率衰减(Learning rate decay)

减小学习因子$\alpha$也能有效提高神经网络训练速度，这种方法被称为learning rate decay, Learning rate decay就是随着迭代次数增加，学习因子$\alpha$逐渐减小

下图中，蓝色折线表示使用恒定的学习因子$\alpha$，由于每次训练$\alpha$相同，步进长度不变，在接近最优值处的振荡也大，在最优值附近较大范围内振荡，与最优值距离就比较远。绿色折线表示使用不断减小的$\alpha$，随着训练次数增加，$\alpha$逐渐减小，步进长度减小，使得能够在最优值处较小范围内微弱振荡，不断逼近最优值。相比较恒定的$\alpha$来说，learning rate decay更接近最优值

Learning rate decay中对$\alpha$的公式：

$$\alpha=\frac{1}{1+decay\_rate*epoch}\alpha_0$$

deacy_rate是参数（可调），epoch是迭代次数。随着epoch增加，$\alpha$会不断变小

其它计算公式：

$$\alpha=0.95^{epoch}\cdot \alpha_0$$

$$\alpha=\frac{k}{\sqrt{epoch}}\cdot \alpha_0\ \ \ \ or\ \ \ \ \frac{k}{\sqrt{t}}\cdot \alpha_0$$

$k$为可调参数，$t$为mini-bach number

还可以设置$\alpha$为关于$t$的离散值，随着$t$增加，$\alpha$呈阶梯式减小。也可以根据训练情况灵活调整当前的$\alpha$值，但会比较耗时间

2.10 局部最优的问题(The problem of local optima)

以前对局部最优解的理解是形如碗状的凹槽，如下图左边所示。但是在神经网络中，local optima的概念发生了变化。大部分梯度为零的“最优点”并不是这些凹槽处，而是形如右边所示的马鞍状，称为saddle point（鞍点）。即梯度为零并不能保证都是convex（极小值），也有可能是concave（极大值）。特别是在神经网络中参数很多的情况下，所有参数梯度为零的点很可能都是右边所示的马鞍状的saddle point，而不是左边那样的local optimum

类似马鞍状的plateaus（平稳端）会降低神经网络学习速度。Plateaus是梯度接近于零的平缓区域，在plateaus上梯度很小，前进缓慢，到达saddle point需要很长时间。到达saddle point后，由于随机扰动，梯度一般能够沿着图中绿色箭头，离开saddle point，继续前进，只是在plateaus上花费了太多时间

local optima的两点总结：

• 只要选择合理的强大的神经网络，一般不太可能陷入local optima

• Plateaus可能会使梯度下降变慢，降低学习速度

动量梯度下降，RMSprop，Adam算法都能有效解决plateaus下降过慢的问题，大大提高神经网络的学习速度