2.3 指数加权平均数（Exponentially weighted averages）

半年内伦敦市的气温变化：

温度数据有noise，抖动较大

如果希望看到半年内气温的整体变化趋势，可以通过移动平均（moving average）的方法来对每天气温进行平滑处理

设$V_0=0$，当成第0天的气温值

第一天的气温与第0天的气温有关：

$$V_1=0.9V_0+0.1\theta_1$$

第二天的气温与第一天的气温有关：

$$\begin{aligned}V_2 =&0.9V_1+0.1\theta_2\\ =&0.9(0.9V_0+0.1\theta_1)+0.1\theta_2\\ =&0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2 \end{aligned}$$

第三天的气温与第二天的气温有关：

$$\begin{aligned}V_3 =&0.9V_2+0.1\theta_3\\ =&0.9(0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2)+0.1\theta_3\\ =&0.9^3V_0+0.9^2\cdot 0.1\theta_1+0.9\cdot 0.1\theta_2+0.1\theta_3 \end{aligned}$$

第$t$天与第$t-1$天的气温迭代关系为：

$$\begin{aligned}V_t =&0.9V_{t-1}+0.1\theta_t\\ =&0.9^tV_0+0.9^{t-1}\cdot0.1\theta_1+0.9^{t-2}\cdot 0.1\theta_2+\cdots+0.9\cdot0.1\theta_{t-1}+0.1\theta_t \end{aligned}$$

经过移动平均处理得到的气温如下图红色曲线所示：

这种滑动平均算法称为指数加权平均（exponentially weighted average）。一般形式为：

$$V_t=\beta V_{t-1}+(1-\beta)\theta_t$$

$\beta$值决定了指数加权平均的天数，近似表示为：

$$\frac{1}{1-\beta}$$

当$\beta=0.9$，则$\frac{1}{1-\beta}=10$，表示将前10天进行指数加权平均。当$\beta=0.98$，则$\frac{1}{1-\beta}=50$，表示将前50天进行指数加权平均。$\beta$值越大，则指数加权平均的天数越多，平均后的趋势线就越平缓，但是同时也会向右平移

绿色曲线和黄色曲线分别表示了$\beta=0.98$和$\beta=0.5$时，指数加权平均的结果